Inférence Profonde pour la Démonstration Graphique de Théorèmes - Département d'informatique
Thèse Année : 2024

Deep Inference for Graphical Theorem Proving

Inférence Profonde pour la Démonstration Graphique de Théorèmes

Résumé

Proof assistants are software systems that allow for the precise checking ofmathematical reasoning. They can be general purpose (like Coq, Lean,Isabelle...) or more specialized like EasyCrypt. They enable a level of accuracywhich certifies that no error can occur, have given birth to a wide range ofpractical and theoretical works, and have been used in a wide range ofapplications. But they remain difficult to use.We propose a new paradigm of formal proof construction through actions performedin a graphical user interface, to enable a more comfortable and intuitive use.Our paradigm builds upon direct manipulation principles, combining both old(Proof-by-Pointing) and new (Proof-by-Linking) interaction techniques thatexploit recent advances in deep inference proof theory. We implement thisparadigm in a prototype of graphical user interface called Actema, using modernweb-based technologies. We also design a generic protocol for plugging Actema onany proof system that supports first-order intuitionistic logic. This protocolis deployed inside the Coq proof assistant through the coq-actema plugin,offering users the ability to integrate graphical proofs into existing textualdevelopments.Then, driven by the will to improve the various interaction techniques of Actemain a unified formalism, we explore a series of deep inference proof systems thatgive more structure to the notion of logical goal. These systems share theability to represent goals in two alternative ways: either textually through astandard inductive syntax, or graphically through a metaphorical notationwell-suited to direct manipulation.The first family of systems, called bubble calculi, is an extension of thetheory of nested sequents, that we reframe as local rewriting systems with agraphical and topological interpretation. Bubble calculi enable an efficientsharing of contexts between subgoals, making them well-suited to thefactorization of both forward and backward reasoning steps in proofs. The secondsystem, called flower calculus, is an intuitionistic refinement of C.S. Peirce'stheory of existential graphs, understood as a system for interactive,goal-directed proof building. It provides more iconic and economical means ofreasoning than bubble calculi, by exposing a small number of expressive rulesthat apply to the goals themselves, removing the need for logical connectives.Both types of systems are shown to be analytic and fully invertible, making themamenable to proof automation techniques.We finally go back to practical experimentation by designing and implementingthe Flower Prover, another web-based prototype of GUI for interactive proofbuilding based on the flower calculus. An innovative feature of the FlowerProver is that it works well on modern mobile devices, thanks to its responsivelayout and first-class support for touch interactions.
Les assistants de preuve sont des logiciels permettant de vérifierrigoureusement les raisonnements mathématiques. Ils peuvent être généraux (commeCoq, Lean, Isabelle...) ou plus spécialisés (comme EasyCrypt). Ils permettent unniveau de précision qui certifie qu'aucune erreur ne peut se produire, ont donnénaissance à une large gamme de travaux pratiques et théoriques, et ont étéutilisés dans une grande variété d'applications. Mais ils restent difficilesd'utilisation.Nous proposons un nouveau paradigme de construction de preuves formelles paractions effectuées dans une interface graphique, afin de permettre uneutilisation plus confortable et plus intuitive. Notre paradigme s'appuie sur desprincipes de manipulation directe, combinant des techniques d'interactionsanciennes (Proof-by-Pointing) et récentes (Proof-by-Linking) qui exploitent lesdernières avancées en théorie de la démonstration par inférence profonde. Nousimplémentons ce paradigme dans un prototype d'interface graphique appelé Actema,basé sur des technologies web modernes. Nous concevons également un protocolegénérique pour connecter Actema à n'importe quel système de preuve qui supportela logique intuitionniste du premier ordre. Ce protocole est déployé dansl'assistant de preuve Coq grâce au plugin coq-actema, offrant aux utilisateursla possibilité d'intégrer des preuves graphiques dans des développementstextuels existants.Puis, animés par la volonté d'améliorer les diverses techniques d'interactiond'Actema dans un formalisme unifié, nous explorons une série de systèmesd'inférence profonde qui donnent plus de structure à la notion de but logique.Ces systèmes ont en commun de pouvoir représenter les buts de deux manièresalternatives : soit textuellement au travers d'une syntaxe inductive standard,soit graphiquement à l'aide d'une notation métaphorique adaptée à lamanipulation directe.La première famille de systèmes, appelée calculs de bulles, est une extension dela théorie des séquents imbriqués, que nous reformulons comme des systèmes deréécriture locaux avec une interprétation graphique et topologique. Les calculsde bulles permettent un partage efficace des contextes communs entre sous-buts,facilitant la factorisation des étapes de raisonnement avant et arrière dans lesdémonstrations. Le second système, appelé calcul des fleurs, est un raffinementintuitionniste de la théorie des graphes existentiels de C.S. Peirce, envisagéecomme un système de construction interactive de preuves dirigée par les buts. Ilfournit des moyens de raisonner plus iconiques et cognitivement économes que lescalculs de bulles, en exposant un petit nombre de règles d'inférence expressivesqui s'appliquent directement aux buts, évitant le recours aux connecteurslogiques pour représenter les énoncés. Les deux types de systèmes sont démontrésanalytiques et complètement inversibles, ce qui les rend adaptés à destechniques d'automatisation de la preuve.Nous revenons finalement à l'expérimentation pratique en concevant etimplémentant le Flower Prover, un autre prototype web d'interface graphique pourla construction interactive de preuves basé sur le calcul des fleurs. Une descaractéristiques innovantes du Flower Prover est qu'il fonctionne bien sur lesappareils mobiles modernes, grâce à sa mise en page adaptative et à son supportde première classe pour les interactions tactiles.
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Origine Version validée par le jury (STAR)

Dates et versions

tel-04698985 , version 1 (16-09-2024)

Identifiants

  • HAL Id : tel-04698985 , version 1

Citer

Pablo Donato. Inférence Profonde pour la Démonstration Graphique de Théorèmes. Logique en informatique [cs.LO]. Institut Polytechnique de Paris, 2024. Français. ⟨NNT : 2024IPPAX015⟩. ⟨tel-04698985⟩
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